Control Proporcional Integral Derivativo (2ª PARTE)

Ver 1ª PARTE

Controlador en el dominio z

Los datos del proceso pueden medirse discretamente en intervalos de tiempo ∆t, y el controlador PID asociado puede representarse por:

El cambio de la salida de un paso de tiempo al siguiente viene dado por u(k) – u(k – 1), así que la ecuación de diferencia PID es:

Criterio de rendimiento del controlador y estabilidad

Índices de rendimiento

Obviamente, en los bucles de realimentación deseamos reducir el error del proceso rápidamente y conseguir estabilidad. Algunos de los índices de rendimiento que podemos considerar son los siguientes:

Estabilidad

La estabilidad en un bucle de realimentación significa que el bucle de realimentación tiende a converger a un valor opuesto al que exhiben las oscilaciones o divergencias respecto al estado estacionario. Recordemos que la función de transferencia en bucle cerrado viene dada por:

Y que el denominador, 1 + GH, cuando es igual a cero, se llama la ecuación característica. Típicamente esta ecuación será un polinomio en s o z dependiendo del método de análisis del bucle de realimentación. Dos condiciones necesarias para la estabilidad son que todas las potencias de s deben estar presentes en la ecuación característica desde cero al orden más alto así que todos los coeficientes de la ecuación característica deben tener el mismo signo. Nótese que el proceso puede todavía ser inestable incluso cuando se satisfacen estas condiciones.

Raíces de la ecuación característica. Las raíces de la ecuación característica juegan un papel importante en determinar la estabilidad del proceso. Estas raíces pueden ser reales o imaginarias.

Tiempo de integración del controlador PID

El tiempo de integración es, por definición, el tiempo requerido para incrementar la salida por el valor del error:

·         El valor del error es constante y 100 %

·         Ganancia = 1

·         Un tiempo de integración de 1 segundo denota que un cambio del 100 % se consigue en un segundo.

Tiempo de derivación

Podemos añadir el error derivativo a la salida del controlador PID. El derivativo es la tasa de cambio del valor del error. Por ejemplo, si el valor del error del proceso cambia linealmente, el derivativo es una constante añadida a la salida del controlador PID.

Control PID ideal para un sistema rotatorio

La acción proporcional (en el sentido de las entradas de control del sistema son proporcionales a los desplazamientos x, o q) aporta rigidez al sistema. La acción derivativa, que puede ser causada por un control derivativo en el que las entradas de control son proporcionales a las derivadas de las salidas o simplemente usando control proporcional en el que la estructura de las matrices C y Ky son proporcionales a la velocidad incluida en el vector de estado, suministra una acción amortiguadora. Si sistema que se va a controlar está completamente suspendido por fuerzas de control, se necesitan ambas acciones.  

Sin embargo, un control PD permite que la posición del rotor se desplace de la posición requerida por fuerzas estáticas. Para alcanzar una posición centrada en presencia de fuerzas estáticas, se requiere un control acciona proporcionalmente a la integral del error de posición

Un control proporcional integral derivativo se obtiene de forma que las entradas del control u_c dependen del error de posición e a través de la relación (escrita para un sistema SISO)

Donde k_c es la ganancia total, T_d es el tiempo de predicción o derivativo, y T_i es el tiempo reset.

Recurriendo a las transformaciones de Laplace de la entrada de control y del error, la función de transferencia de un control PID ideal es:

En términos de aproximación del espacio del estado, el control integral puede introducirse aumentando le vector del estado a través de un número de estados adicionales z_I definidos como:

Donde la matriz de selección S se ha introducido para permitirnos usar las integrales de un número reducido de salidas (si se necesitan) para el control y las referencias rI pueden ser diferentes de las referencias r correspondientes.

Los estados adicionales ZI definidos en la ecuación anterior son las integrales de los errores.

Las entradas de control son así:

Donde la acción derivativa es considerada a través de las velocidades incluidas en los estados y las varias matrices de ganancia incluyen todas las constantes del sistema de control.

La ecuación de estado del sistema del bucle cerrado es así:

Dinámicas del sistema de control

Usualmente el sistema de control no es un ideal y varios componentes del bucle de control (sensores, controlador, amplificador de potencia, actuadores) tienen su propia dinámica. Sin embargo, puede estar presente un compensador. Para tener esto en cuenta, las ecuaciones diferenciales gobernando las dinámicas de todos los elementos deben ser asociados con la ecuación rotordinámica.

Las dinámicas del sistema de control pueden expresarse en términos de su función de transferencia transformando la entrada en el sistema de control (que coincide con la salida y del sistema controlado), en la salida del sistema de control, que coincide con la entrada de control uc de la planta. Asumiendo que la función de transferencia se expresa como un ratio de dos polinomios en s

Bibliografía

·         Dynamics of Rotating Systems. Giancarlo Genta. Mechanical Engineering Series

·         Mechanical Engineering handbook. Frank Kreith