Ver 1ª PARTE
Controlador en el dominio z
Los datos
del proceso pueden medirse discretamente en intervalos de tiempo ∆t, y el
controlador PID asociado puede representarse por:
El cambio de la salida de un paso de tiempo al siguiente viene dado por u(k) – u(k – 1), así que la ecuación de diferencia PID es:
El cambio de la salida de un paso de tiempo al siguiente viene dado por u(k) – u(k – 1), así que la ecuación de diferencia PID es:
Criterio de rendimiento del controlador y estabilidad
Índices de rendimiento
Obviamente,
en los bucles de realimentación deseamos reducir el error del proceso
rápidamente y conseguir estabilidad. Algunos de los índices de rendimiento que
podemos considerar son los siguientes:
Estabilidad
La
estabilidad en un bucle de realimentación significa que el bucle de
realimentación tiende a converger a un valor opuesto al que exhiben las
oscilaciones o divergencias respecto al estado estacionario. Recordemos que la
función de transferencia en bucle cerrado viene dada por:
Y que el
denominador, 1 + GH, cuando es igual a cero, se llama la ecuación
característica. Típicamente esta ecuación será un polinomio en s o z
dependiendo del método de análisis del bucle de realimentación. Dos condiciones
necesarias para la estabilidad son que todas las potencias de s deben estar
presentes en la ecuación característica desde cero al orden más alto así que
todos los coeficientes de la ecuación característica deben tener el mismo
signo. Nótese que el proceso puede todavía ser inestable incluso cuando se
satisfacen estas condiciones.
Raíces de la
ecuación característica. Las raíces de la ecuación característica juegan un
papel importante en determinar la estabilidad del proceso. Estas raíces pueden
ser reales o imaginarias.
Tiempo de integración del controlador PID
El tiempo de
integración es, por definición, el tiempo requerido para incrementar la salida
por el valor del error:
·
El valor del error es constante y 100 %
·
Ganancia = 1
·
Un tiempo de integración de 1 segundo denota que
un cambio del 100 % se consigue en un segundo.
Tiempo de derivación
Podemos
añadir el error derivativo a la salida del controlador PID. El derivativo es la
tasa de cambio del valor del error. Por ejemplo, si el valor del error del
proceso cambia linealmente, el derivativo es una constante añadida a la salida
del controlador PID.
Control PID ideal para un sistema rotatorio
La acción
proporcional (en el sentido de las entradas de control del sistema son
proporcionales a los desplazamientos x, o q) aporta rigidez al sistema. La
acción derivativa, que puede ser causada por un control derivativo en el que
las entradas de control son proporcionales a las derivadas de las salidas o
simplemente usando control proporcional en el que la estructura de las matrices
C y Ky son proporcionales a la velocidad incluida en el vector de estado,
suministra una acción amortiguadora. Si sistema que se va a controlar está
completamente suspendido por fuerzas de control, se necesitan ambas acciones.
Sin embargo,
un control PD permite que la posición del rotor se desplace de la posición
requerida por fuerzas estáticas. Para alcanzar una posición centrada en
presencia de fuerzas estáticas, se requiere un control acciona
proporcionalmente a la integral del error de posición
Un control
proporcional integral derivativo se obtiene de forma que las entradas del
control uc dependen del error de posición e a través de la relación
(escrita para un sistema SISO)
Donde kc
es la ganancia total, Td es el tiempo de predicción o derivativo, y
Ti es el tiempo reset.
Recurriendo
a las transformaciones de Laplace de la entrada de control y del error, la
función de transferencia de un control PID ideal es:
En términos
de aproximación del espacio del estado, el control integral puede introducirse
aumentando le vector del estado a través de un número de estados adicionales zI
definidos como:
Donde la
matriz de selección S se ha introducido para permitirnos usar las integrales de
un número reducido de salidas (si se necesitan) para el control y las
referencias rI pueden ser diferentes de las referencias r correspondientes.
Los estados
adicionales ZI definidos en la ecuación anterior son las integrales de los
errores.
Las entradas
de control son así:
Donde la
acción derivativa es considerada a través de las velocidades incluidas en los
estados y las varias matrices de ganancia incluyen todas las constantes del
sistema de control.
La ecuación
de estado del sistema del bucle cerrado es así:
Dinámicas del sistema de control
Usualmente
el sistema de control no es un ideal y varios componentes del bucle de control
(sensores, controlador, amplificador de potencia, actuadores) tienen su propia
dinámica. Sin embargo, puede estar presente un compensador. Para tener esto en
cuenta, las ecuaciones diferenciales gobernando las dinámicas de todos los
elementos deben ser asociados con la ecuación rotordinámica.
Las
dinámicas del sistema de control pueden expresarse en términos de su función de
transferencia transformando la entrada en el sistema de control (que coincide
con la salida y del sistema controlado), en la salida del sistema de control,
que coincide con la entrada de control uc de la planta. Asumiendo que la
función de transferencia se expresa como un ratio de dos polinomios en s
Bibliografía
·
Dynamics
of Rotating Systems. Giancarlo Genta. Mechanical Engineering Series
·
Mechanical Engineering handbook. Frank Kreith
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